Ang fractal na istraktura ng harmonic oscillator sa musika: konsiyerto ng Bagong Taon: JS.Bach. Mga konsyerto ng Brandenburg.

Ang pagsusuri ng istraktura ng iba't ibang mga gawa sa musikal ay nagpakita na ang pagpili ng mga tala na ginawa ng iba't ibang mga kompositor, sa iba't ibang oras, ay may ilang mga karaniwang elemento. Ito ay isa sa mga Brandenburg Concerts ng Bach, ng String Quartet # 3 ng Babbit, ng mga gawa sa piano ni Scott Joplin, ang lahat ng mga gawa na ito ay may parehong hugis kung ang istraktura ay isinasaalang-alang sa mga tuntunin ng mga dalas. Ipapaliwanag namin ito sa ibaba.

Sa pagsusuri ng pandinig ng iba't ibang mga gawa ng musikal na halaga na napag-aralan ay ang lakas ng audio ng musika. Ang halagang ito ay, sa kakanyahan, ang enerhiya na inilalabas sa anyo ng mga tunog ng tunog tuwing segundo, kapag isinasagawa ang gawaing pangmusika. Sa pamamagitan ng pagsusuri kung paano nakabuo ang dami na ito, sa mga tuntunin ng dalas, kung ano ang tinatawag na spectrum ay nakuha.

Paano nakasalalay ang dalas ng iba't ibang mga gawa sa musikal sa dalas?

Ang mga pagsusuri na ginawa ng iba't ibang mga gawaing pangmusika ay nagpakita na ang kanilang spectra ay nakasalalay sa dalas, na tatawagin namin kasama ang titik f, tulad ng (1 / f). Kung naaalala natin kung ano ang nasuri sa nakaraang kabanata, nakikita natin na ang spectrum na ito ay isang batas ng kuryente na, sa wikang matematika, ay depende sa dalas na baligtad sa unang kapangyarihan ng f (mula sa exponent ng f in (1) / f) ay 1). Samakatuwid, tulad ng inilarawan, ang spectrum na ito ay magkatulad sa sarili at dahil dito ay naglalaman ng isang fractal na istraktura.

Ang isang spectrum ng uri na nabanggit sa nakaraang talata ay tinatawag na pink spectrum.

Bakit pinili ni Bach at maraming iba pang mga kompositor ang kulay rosas na spectrum? Ang katotohanan ay wala pang musikero na nakakarinig ng mga ideyang ito, hindi gaanong pinili ang mga ito. Upang maunawaan kung ano ang mangyayari ay ipapaliwanag namin kung paano gagawin ang musika sa isa pang uri ng spectrum.

Ang isang paraan ay ang mga sumusunod: Ang bawat tala na nakasulat ay tulad na ang posisyon at tagal nito ay hindi umaasa sa mga nakaraang tala o kanilang tagal. Sa kasong ito sinasabing ang komposisyon ay ganap na random o stokastik. Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng musika ay ipinakita sa Larawan 33 (a). Ang spectrum ng audio na lakas ng ganitong uri ng musika ay pareho para sa anumang halaga ng dalas, na nangangahulugang ang halaga ng kapangyarihan ay pareho para sa anumang mga dalas na halaga, iyon ay, ito ay isang dami pare-pareho. Sa matematika, ang spectrum ay nakasalalay sa dalas (1 / f0), dahil f0 = 1. Ang isang spectrum ng ganitong uri ay tinatawag na puti. Kung ang ganitong uri ng musika ay nilalaro sa isang instrumento ay maririnig natin ito nang walang istruktura; Magbibigay din ito ng impresyon na mula sa isang tala hanggang sa isa pa ay palaging may sorpresa.

Ang isa pang uri ng spectrum, na papunta sa kabilang dulo, ay ang isa na nakasalalay sa dalas (1 / f²), na tinatawag na kayumanggi o kayumanggi, isang pangalan na ibinigay dahil ito ay nauugnay sa kilusang Brownian na tinalakay sa Kabanata IV. Ang Figure 33 (b) ay nagpapakita ng musika na mayroong brown spectrum. Sa musika, ang bawat tala at ang tagal nito ay nakasalalay sa isang malaking antas sa nakaraang mga tala. Samakatuwid, ang pakiramdam na mayroon ka kapag nakikinig sa ito ay na pagkatapos ng pag-play ng ilang tala ang mga sumusunod ay mahuhulaan.

Sa pigura: (a) Halimbawa ng puting musika. (b) Halimbawa ng brown na musika. (c) Halimbawa ng pink na musika.

Ang musika na mayroong kulay rosas na spectrum, iyon ay (1 / f), ay, upang sabihin, kabilang sa mga kaso ng random na musika (puting spectrum) at deterministik na musika (brown spectrum). Sa kasong ito ang mga tala at ang kanilang tagal ay hindi masyadong mahuhulaan o masyadong nakakagulat. Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng musika ay ipinapakita sa Larawan 33 (c).

Pagbabalik sa tanong na tinanong sa itaas: bakit epektibo ang mga kompositor na gumagamit ng pink na spectra, iyon ay, isang batas ng mga kapangyarihan (1 / f) upang mabuo ang kanilang musika ?, masasabi na sinubukan ng mga kompositor, at tiyak na marami sa Pinamamahalaang nila upang gumawa ng kawili-wiling musika. Ang tanong ay dapat na itataas bilang mga sumusunod: bakit ang mga kagiliw-giliw na musika ay may isang pink na spectrum? Ang sagot ay maaaring ang musika na may ganitong uri ng spectrum ay lumiliko na hindi masyadong mahuhulaan (brown spectrum) o masyadong nakakagulat (puting spectrum). Sinabi ng siyentipikong Dutch na si Balthazaar van de Pol na ang musika ng Bach ay mahusay dahil hindi maiiwasan at sa parehong oras ay nakakagulat, na nangangahulugang kulay rosas ang spectrum nito.

Dahil ang musika na may kulay rosas na spectrum ay magkatulad sa sarili, mayroon itong katulad na istraktura sa iba't ibang mga kaliskis ng dalas. Ang mangyayari sa isang scale ng dalas ay dapat mangyari sa anumang iba pang scale ng dalas. Kung ang nasabing komposisyon ay naitala sa magnetic tape sa isang tiyak na bilis at nilalaro sa iba't ibang bilis, ang maririnig ay magiging katulad sa naitala. Ang kaibahan nito sa nangyayari sa tinig ng tao, dahil kapag ang isang pag-record ay nilalaro nang mabilis, halimbawa dalawang beses kung ano ang dapat gawin, ito ay napakalakas. Ang isang paraan upang ipakita ang pagkakapareho sa sarili ay sa tulong ng isang elektronikong aparato na bumubuo ng mga tunog ng mga dalas na nais mo. Kung ang isang tunog ay ginawa na ang superposition ng 2 mga tala, ang bawat tala ay isang octave (dobleng dalas) ng nauna at nagsisimula sa isang tala ng 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1 / sec), Ang sumusunod na 11 mga tala ay sa mga frequency:

20 = 2 x 10, 40 = 4 x10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 5l2 x l0, 10 240 = 1024 x 10 at

20 480 = 2 048 x 10, lahat sa mga yunit ng Hz.

Ngayon baguhin natin ang bawat isa sa mga tala na ito para sa iba na may mas mataas na mga frequency ng isang semitone (naaayon sa pagkakaiba sa pagitan ng dalawang sunud-sunod na mga tala ng isang piano); ang dalas ng semitone ay nakuha mula sa nakaraang tala na nagparami ng 1.05946. Ngayon ang tunog na superposisyon ng mga sumusunod na frequency ay i-play:

10 x 1.0594 = 10.6, 20 x 1.05946 = 21.2,

40 x 1.05946 = 42.38, 80 x 1.05946 = 84.76,

160 x 1.05946 = 169.51, 320 x 1.05946 = 339.03,

640 x 1.05946 = 678.06, 1 280 x 1.05946 = 1356.11,

2560x 1.05946 = 2712.22, 5120 x 1.05946 = 5424.44,

10240 x 1.05946 = 10848.88 at 20480 x 1.05946 = 21697.74 Hz

Ang tunog na ito ay maririnig ng isang mas malakas na tono kaysa sa nauna.

Kung ang dalas ng bawat mga tala ay nadagdagan ng isang semitone muli, ang superposisyon ng mga bagong tunog ay makagawa ng isang mas mataas na tunog ng pitch. Kung ang proseso ng pagdaragdag ng bawat isa sa mga sangkap ng tunog sa pamamagitan ng isang semitone ay paulit-ulit na 12 beses, lumiliko na ang tunog na ginawa ay hindi naiintindihan mula sa orihinal! Ito ay isang musikal na pagpapakita ng pagkakapareho sa sarili.

Bilang karagdagan, kung isasaalang-alang natin ang di-naririnig na diagram / oras ng spectrum, magkakaroon tayo na sa mga nuances> 20 Hz at mas mataas kaysa sa 28, 000 Hz, makakakuha tayo ng isang nakakapinsalang logarithm na ipinahayag bilang isang sunud-sunod na mga kaganapan sa solong at dobleng sa silences:

Ang susi sa maharmonya na mga oscillator ay magkakasunod sa mga silences o dalas na kadena ng hindi naririnig na spectrum.

Ang kumbinasyon ng mga konsepto sa itaas, ay nagreresulta sa kamangha-mangha na inaalok namin upang makatanggap ng bagong taon 2011: